Maîtrisez vos bases en algèbre & arithmétique: MASTER, CAPES, AGRÉGATION

Ce livre vous offre une révision complète des notions fondamentales en algèbre, algèbre linéaire et arithmétique que vous avez abordées au cours des quatre premières années d’université. Il cible principalement les candidats au CAPES ou à l’agrégation, afin de vous permettre une mise à niveau rigoureuse, rapide et ciblée. Les étudiants en licence et en master de mathématiques y trouveront également un outil précieux.

Les sections indiquées par un astérisque s’adressent spécifiquement aux agrégatifs internes ou externes, tandis que celles sans astérisque sont essentielles pour bien préparer le CAPES. Elles vous aident à accumuler des connaissances et à vous préparer efficacement aux épreuves écrites et orales du concours. En consultant attentivement la table des matières, vous découvrirez l’étendue des révisions proposées. L’objectif est de rassembler un maximum de données essentielles en un seul endroit, transformant ce livre en une référence incontournable : fonctions et relations, entiers naturels, entiers relatifs, décimaux, notions de cardinalité et de dénombrabilité, groupes, groupes-quotients, groupes symétriques, anneaux, polynômes, nombres complexes, ainsi que toute l’algèbre linéaire et l’étude approfondie de la réduction des endomorphismes, sans oublier l’arithmétique dans l’anneau des entiers relatifs.

Ce cours couvre tous les thèmes d’algèbre et d’arithmétique présents dans le programme officiel du CAPES et CAFEP 2020, notamment :

1) Raisonnement et vocabulaire ensembliste : opérateurs logiques, quantificateurs, vocabulaire de la théorie des ensembles, applications, relations d’ordre et relations d’équivalence.

2) Nombres complexes : module et argument, racines n-ièmes de l’unité, exponentielle complexe, trigonométrie, applications à la géométrie plane, équation du second degré.

3) Algèbre linéaire : systèmes linéaires, algorithme du pivot de Gauss-Jordan, espaces vectoriels de dimension finie, familles libres et génératrices, bases, applications linéaires, homothéties, projections, symétries, rang d’une application linéaire, représentations matricielles, réduction des endomorphismes et matrices carrées : éléments propres, diagonalisation, trigonalisation.

4) Matrices et déterminants : calcul matriciel, matrices inversibles, transposition, matrices et applications linéaires, changement de bases, équivalence, similitude, déterminant d’une matrice carrée et d’un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie.

5) Arithmétique des entiers : nombres premiers, PGCD, PPCM, algorithme d’Euclide, sous-groupes de Z, congruences, anneaux Z/nZ, théorème des restes chinois, petit théorème de Fermat.

6) Polynômes : arithmétique des polynômes à coefficients réels ou complexes, racines, décomposition dans R[X] et C[X].

7) Groupes : sous-groupes, morphismes de groupes, groupes monogènes et cycliques : groupes Z/nZ, groupe des racines n-ièmes de l’unité, générateurs, indicatrice d’Euler, ordre d’un élément, groupes symétriques, exemples de groupes agissant sur un ensemble, groupes laissant invariante une partie du plan ou de l’espace.

En vous investissant sérieusement dans les différents chapitres de ce livre, vous acquerrez des connaissances solides, que vous pourrez utiliser avec plaisir au moment opportun.