Éléments de mathématiques pour le XXIe siècle, volume 1: Fondements des mathématiques 1

« Ce livre constitue le premier volume d’une série destinée à explorer de manière exhaustive les concepts du premier cycle universitaire en mathématiques, tout en s’étendant largement au-delà vers le deuxième cycle. Plus généralement, cette série s’adresse à quiconque s’intéresse aux mathématiques contemporaines. En théorie, même sans connaissances préalables, vous pourrez l’aborder. Les mathématiques y sont introduites dès le début, et chaque concept se construit progressivement. Chaque définition, théorème et démonstration fait appel uniquement à ce qui a été défini auparavant.

Chaque ouvrage combine plusieurs objectifs :
– Il se veut didactique, avec des preuves très détaillées, des explications accessibles et de nombreux exemples ainsi que des contre-exemples.
– Il aspire à être complet, voire encyclopédique, en présentant de nombreuses notions, tous les théorèmes démontrés et en fournissant de nombreux détails historiques.
– Il cherche à être synthétique, en multipliant les perspectives.

Les quatre premiers volumes abordent les fondements modernes des mathématiques. Ce premier volume se concentre principalement sur la logique mathématique. Les sujets suivants y sont particulièrement étudiés :
– La logique des propositions,
– Le calcul booléen (algèbre de Boole),
– La logique des prédicats,
– Des systèmes formels utilisés dans la théorie de la démonstration, notamment un système déductif à la Hilbert et la déduction naturelle,
– Quelques exemples d’autres logiques formelles, comme la logique intuitionniste.

Vous trouverez également divers sujets légèrement moins liés aux mathématiques formelles :
– Des éléments de logique traditionnelle, tels que les syllogismes et les diagrammes logiques,
– Des exemples de paralogismes classiques.

Enfin, la présentation de la logique des prédicats offre l’occasion d’aborder d’autres notions, notamment :
– Une première approche de quelques structures algébriques de base comme les groupes et les anneaux,
– La théorie axiomatique de l’arithmétique de Peano, qui formalise les propriétés des nombres entiers et des opérations associées, comme l’addition et la multiplication.

N’hésitez pas à plonger dans cette exploration enrichissante ! »