Équations différentielles ordinaires pour les Classes Préparatoires MPSI

Les équations différentielles occupent une place essentielle dans le domaine des sciences mathématiques et de leurs nombreuses applications. Elles permettent de créer des modèles mathématiques qui décrivent des phénomènes naturels, ainsi que des processus d’évolution physique et biologique, comme la radioactivité, la mécanique, la dynamique des populations et les systèmes dynamiques en général. Les principaux objectifs de la théorie des équations différentielles ordinaires incluent la résolution explicite complète lorsque cela est possible, l’approche numérique pour les solutions, ainsi que l’étude qualitative et l’interprétation des résultats.

### Table des matières

1. **Généralités – Théorèmes Généraux**
1.1 Rappels : applications lipschitziennes
1.2 Définitions et existence de solutions
1.3 Régularité des solutions
1.4 Intégrales premières
1.5 Équations différentielles linéaires
1.6 Résolvante d’une équation différentielle linéaire

2. **Équations différentielles particulières**
2.1 Théorème de Poincaré et applications
2.2 Équations différentielles à variables séparables
2.3 Équations homogènes
2.4 Équations différentielles linéaires d’ordre 1 unidimensionnelles
2.5 Équations de Bernoulli
2.6 Équations de Riccati
2.7 Équations de Clairaut
2.8 Équations de Lagrange

3. **Systèmes autonomes**
3.1 Généralités
3.2 Orbites des équations différentielles
3.3 Stabilité par linéarisation
3.4 Stabilité par fonction de Lyapounov

4. **Modélisations et applications**
4.1 Modèles de population
4.2 Modèles proies-prédateurs
4.3 La radioactivité du C14
4.4 Mécanique du point
4.5 Circuits électriques
4.6 Réactions chimiques

5. **Série d’exercices**

Pour en savoir plus, plongez-vous dans ce fascinant sujet qui allie rigueur mathématique et applications concrètes !