Initiation à la géométrie de Riemann

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Ce livre s’adresse aux étudiants en master de mathématiques et à tous ceux qui souhaitent découvrir la géométrie de Riemann, que ce soit pour approfondir leurs connaissances ou pour préparer l’étude de textes plus avancés. Les prérequis se limitent à une bonne maîtrise du calcul différentiel, à quelques notions de topologie générale et aux premiers théorèmes sur les équations différentielles.

La géométrie riemannienne repose principalement sur les travaux de Carl Friedrich Gauss et de Bernhard Riemann, chacun apportant une contribution essentielle à cet édifice mathématique. Ce chapitre vous ouvre les portes des théories qui cherchent à expliquer la géométrie et les lois de l’univers. L’auteur, mathématicien et astronome amateur, se passionne pour des questions qui intriguent ses pairs et étudiants, telles que l’expansion de l’univers et le Big Bang.

François Rouvière vous invite à un véritable voyage, que vous pouvez entreprendre sans quitter votre chambre. Il vous apprend à marcher droit sur une surface, à observer attentivement ce qui vous entoure, et à éviter de tomber dans le golfe de Gênes. Il vous montre comment vous orienter malgré les imperfections de vos cartes, tout en conservant vos atlas. De plus, il vous initie au transport parallèle et vous explique certaines lois de l’optique, y compris le mystère des mirages.

En commençant par des surfaces, dont l’étude occupe la première moitié du livre, vous découvrirez les divers aspects de la courbure, le remarquable « Theorema Egregium » et la formule de Gauss-Bonnet. L’auteur vous guide ensuite vers des dimensions supérieures, vous enseignant ce qu’est une variété, le flot d’un champ de vecteurs et vous préparant à appréhender sans difficulté la « miraculeuse » connexion riemannienne. Vous explorerez ensuite les géodésiques, suivies de l’application exponentielle en géométrie riemannienne, notamment dans les groupes de Lie.

La courbure se révèle dans ce contexte élargi, sous la forme du tenseur de Riemann. Les exemples concrets, tels que les supports de la pensée et les espaces à courbure constante, vous offriront, aux côtés des espaces euclidiens, des illustrations fascinantes avec les espaces hyperboliques et ceux de la géométrie sphérique. En compagnie des pionniers Jànos Bolyai, Nikolaï Lobachevsky, Eugenio Beltrami, Félix Klein et Henri Poincaré, ainsi qu’Einstein et sa relativité générale, vous ferez partie d’une jet set mathématique très particulière.

Enfin, plus d’une cinquantaine d’exercices détaillés vous attendent pour approfondir vos connaissances et enrichir votre compréhension à travers des exemples variés et fondamentaux. Prêt à en lire plus ?