Le principe de moindre action: et les principes variationnels en physique

L’optimisation sous contraintes fait partie intégrante de notre quotidien. Chacun d’entre nous s’efforce de vivre au mieux, en jonglant avec des intérêts souvent contradictoires entre besoins, désirs et réalités matérielles. Ce concept d’équilibre a particulièrement intéressé les penseurs du siècle des Lumières. Montesquieu, en affirmant que « dans toute magistrature, il faut compenser la grandeur de la puissance par la brièveté de sa durée », illustre une idée d’une étonnante actualité.

La découverte par Fermat du principe de moindre temps en optique, ainsi que celle du principe de moindre action par Maupertuis, avec l’aide de son ami Euler en mécanique, a marqué le début d’une aventure tant philosophique que scientifique. Euler et Lagrange ont ancré ce travail dans le calcul variationnel. Les phénomènes physiques se sont alors révélés comme des problèmes d’optimisation sous contraintes, résultant d’équilibres optimaux entre des causes en conflit. Depuis cette époque, cet aspect n’a cessé d’évoluer pour devenir une pierre angulaire de la physique moderne.

Sous le terme « principes variationnels », ces formulations des lois de la nature se distinguent par leur caractère universel et global. Tout comme le principe de Fermat explique les mirages en optique, en relativité générale, la courbure des rayons lumineux par le champ gravitationnel engendre des mirages et des effets de lentille gravitationnels spectaculaires, permettant ainsi d’explorer l’état primitif du cosmos.

L’objectif principal de ce livre est de décrire, à partir du principe de moindre action de Maupertuis, la mécanique analytique de Lagrange et de Hamilton, qui constitue un bagage essentiel pour tout étudiant ou chercheur en physique. Cependant, il est également possible de passer aisément à l’explication d’autres exemples physiques. Les outils développés ici offrent une présentation de la théorie lagrangienne des champs et, surtout, celle du mouvement d’une particule dans un espace courbe, offrant ainsi un avant-goût simple mais riche de la relativité générale et de ses premières applications.

Enfin, le dernier chapitre propose un aperçu de la théorie de Feynman en mécanique quantique, révélant des structures communes à des domaines de la physique a priori très éloignés.